一出矣。交于黄道之上，与日相掩，则蚀焉。汉世刘洪推检月行，作阴阳历法。元嘉二十年，太祖使著作令史吴癸依洪法，制新术，令太史施用之。
《元嘉历》月行阴阳法：
阴阳历
损益率
兼数
一日
益十七
初
二日（前限馀六百六十五微分一千七百三十八）
益十六
十七
三日
益十五
三十三
四日
益十二
四十八
五日
益八
六十
六日
益四
六十八
七日
益一
七十二
八日
损二
七十三
九日
损六
七十一
十日
损十
六十五
十一日
损十三
五十五
十二日
损十五
四十二
十三日（後限馀二千一十九微分一千七十九）
损十六
二十七
分日（二千六百八十五半）
损（大者五千三百
七十一分之三千四百七十二
十一
历周，五万五千五百一十七半。
差率，一万一百九十。
微分法，一千八百七十八。
推入阴阳历术曰：以会月去入纪积月，余以会数乘之，以所入纪交会差加之，周天乘之，满微分法为大分，不尽为微分。大分满周天去之，余不满历周者为入阳历。余皆如月周得一日，算外，所求年正月合朔入历也。不尽为日余。
求次月，加二日，日余一千三百三十一，微分一千五百九十八，如法成日，日满十三去之，除日余如分日。阴阳历竟平入端，入历在前限余前，后限余后者，月行中道。
求朔弦望定数：各置入迟疾历盈缩定积分，以章岁乘之，差法除之，所得满通法为大分。不尽，以微分法乘之，如法为微分。盈减缩加阴阳日余，盈不足，以月周进退日而定，以定日余乘损益兼数，为加时定数。
推夜半入历：以差率朔小余，如微分法得一，以减入历余，不足，加月周而减之，却一日，却得分日，加其分，半微分为小分，即朔日夜半入历历余小分也。
求次日，加一日，日余十六，小分三百二十，小分如会从余，余满月周去之，又加一日。历竟，下日余满分日去之，于入历初也。不满分日者，值之，加余一千二百九十四，小分七百八十九半，为入次历。
求夜半定日：以朔小余减入迟疾历日余，不足一日，却得周日，加余四百一十七，即月夜半入历日及余也。以日余乘损益率，盈缩积分，为定积分。满通法为大分，不尽以会月乘之，如法为小分，以盈加缩减入阴阳日余，盈不足进退日而定也。以定日余乘损益率，如月周，以损益兼数，为夜半定数。
求昏明数：以损益率乘所近节气夜漏，二百而一为明，以减损益率为昏，而以损益夜半数为昏明定数也。
求月去黄道度：置加时若昏明定数，以十二除之为度，其余三而一为少，不尽为强，二少弱也。所得为月去黄道度。
大明六年，南徐州从事史祖冲之上表曰：
古历疏舛，颇不精密，群氏纠纷，莫审其要。何承天所奏，意存改革，而置法简略，今已乖远。以臣校之，三睹厥谬：日月所在，差觉三度；二至晷影，几失一日；五星见伏，至差四旬，留逆进退，或移两宿。分至乖失，则节闰非正；宿度违天，则伺察无准。臣生属圣辰，逮在昌运，敢率愚瞽，更创新历。谨立改易之意有二，设法之情有三。
改易者，其一，以旧法一章十九岁有七闰，闰数为多，经二百年，辄差一日。节闰既移，则应改法，历纪屡迁，实由此条。今改章法，三百九十一年有一百四十四闰。令却合周、汉，则将来永用，无复差动。其二，以《尧典》云：“日短星昴，以正仲冬。”以此推之，唐代冬至，日在今宿之左五十许度。汉代之初，即用秦历，冬至日在牵牛六度。汉武改立《太初历》，冬至日在牛初。后汉《四分法》，冬至日在斗二十二。晋时姜岌以月蚀检日，知冬至在斗十七。今参以中星，课以蚀望，冬至之日，在斗十一。通而计之，未盈百载，所差二度。旧法并令冬至日有定处，天数既差，则七曜宿度渐与历舛。乖谬既著，辄应改制，仅合一时，莫能通远，迁革不已，又由此条。今令冬至所在，岁岁微差，却检汉注，并皆审密，将来久用，无烦屡改。
又设法者，其一，以子为辰首，位在正北，爻应初九，斗气之端，虚为北方，列宿之中，元气肇初，宜在此次。前儒虞喜，备论其义。今历上元日度，发自虚一。其二，以日辰之号，甲子为先，历法设元，应在此岁。而黄帝以来，世代所用，凡十一历，上元之岁，莫值此名。今历上元，岁在甲子。其三，以上元之岁，历中众条，并应以此为始，而《景初历》交会迟疾，亦置纪差，裁合朔气而已。条序纷互，不及古意。今设法，日月五纬，交会迟疾，悉以上元岁首为始。则合璧之曜，信而有征，连珠之晖，于是乎在，群流共源，实精古法。
若夫测以定形，据以实效，县象著明，尺表之验可推，动气幽微，寸管之候不忒。今臣所立，易以取信。但深练始终，大存整密，革新变旧，有约有繁。用约之条，理不自惧，用繁之意，顾非谬然。何者？夫纪闰参差，数各有分，分之为体，非细不密。臣是用深惜毫厘，以全求妙之准，不辞积累，以成永定之制。非为思而莫悟，知而不改也，窃恐赞有然否，每崇远而随近；论有是非，或贵耳而遗目。所以竭其管|岤，俯洗同异之嫌，披心日月，仰希葵藿之照。若臣所上，万一可采，伏愿颁宣群司，赐垂详究，庶陈锱铢，少增盛典。
○历法
上元甲子至宋大明七年癸卯，五万一千九百三十九年算外。
元法，五十九万二千三百六十五。
纪法，三万九千四百九十一。
章岁，三百九十一。
章月，四千八百三十六。
章闰，一百四十四。
闰法，十二。
月法，十一万六千三百二十一。
日法，三千九百三十九。
余数，二十万七千四十四。
岁余，九千五百八十九。
没分，三百六十万五千九百五十一。
没法，五万一千七百六十一。
周天，一千四百四十二万四千六百六十四。
虚分，万四百四十九。
行分法，二十三。
小分法，一千七百一十七。
通周，七十二万六千八百一十。
会周，七十一万七千七百七十七。
通法，二万六千三百七十七。
差率，三十九。
推朔术：置入上元年数，算外，以章月乘之，满章岁为积月，不尽为闰余。闰余二百四十七以上，其年有闰。以月法乘积月，满日法为积日，不尽为小余。六旬去积日，不尽为大余。大余命以甲子，算外，所求年天正十一月朔也。小余千八百四十九以上，其月大。求次月，加大余二十九，小余二千九十，小余满日法从大余，大余满六旬去之，命如前，次月朔也。求弦望：加朔大余七，小余千五百七，小分一，小分满四从小余，小余满日法从大余，命如前，上弦日也。又加得望，又加得下弦，又加得后月朔也。
推闰术：以闰余减章岁，余满闰法得一月，命以天正，算外，闰所在也。闰有进退，以无中气为正。推二十四气术：置入上元年数，算外，以余数乘之，满纪法为积日，不尽为小余。六旬去积日，不尽为大余。大余命以甲子，算外，天正十一月冬至日也。求次气，加大余十五，小余八千六百二十六，小分五，小分满六从小余，小余满纪法从大余，命如前，次气日也。求土用事：加冬至大余二十七，小余万五千五百二十八，季冬土用事日也。又加大余九十一，小余万二千二百七十，次土用事日也。推没术：以九十乘冬至小余，以减没分，满没法为日，不尽为日余，命日以冬至，算外，没日也。
求次没，加日六十九，日余三万四千四百四十二，余满没法从日，次没日也。日余尽为灭。
推日所在度术：以纪法乘朔积日为度实，周天去之，余满纪法为积度，不尽为度余，命以虚一，次宿除之，算外，天正十一月朔夜半日所在度也。求次月，大月加度三十，小月加度二十九，入虚去度分。求行分，以小分法除度余，所得为行分，不尽为小分。小分满法从行分，行分满法从度。求次日，加一度。入虚去行分六，小分百四十七。
推月所在度术：以朔小余乘百二十四为度余。又以朔小余乘八百六十为微分。微分满月法从度余，度余满纪法为度，以减朔夜半日所在，则月所在度。
求次月，大月加度三十五，度余三万一千八百三十四，微分七万七千九百六十七，小月加度二十二，度余万七千二百六十一，微分六万三千七百三十六，入虚去度分也。
迟疾历：
月行度
损益率
盈缩积分
差法一日十四行分十三益七十
盈初
5304二日十四十一
益六十五
盈百八十四万二千三百一十六
5270三日
十四八
益五十七
盈三百五十五万七百六
5219四日
十四四
益四十七
盈五百五万八千二百八
5151五日
十三二十二益三十四
盈六百二十九万七千八百五十七5066六日
十三十七
益二十二
盈七百二十万二千六百九十一
4981七日
十三十一
益六
盈七百七十七万二千七百一十
4879八日
十损九
盈七百九十四万九百五十二
4777九日
十二二十二损二十四
盈七百七十万七千四百一十五
4675十日
十二十六
损三十九
盈七百七万二千一百
4573十一日
十二十一
损五十二
盈六百三万五千七
4488十二日
十二八
损六十
盈四百六十六万三千一百
4437十三日
十二六
损六十五
盈三百九万三百二
4403十四日
十二四
损七十盈百三十八万三千五百八十
4369十五日
十二五
益六十七缩四十五万七千六十九
4368十六日
十二七
益六十二
缩二百二十三万七百五十五
4420十七日
十二十
益五十五
缩三百八十七万五百一十四
4471十八日
十二十四
益四十四
缩五百三十万九千三百八十五
4539十九日
十二十九
益三十二
缩六百四十八万四百四
4624二十日
十三一
益十九
缩七百三十一万六千六百八
4709二十一日十三七
益四
缩七百八十一万七千九百九十六4811二十二日十三十三
损十一
缩七百九十一万七千六百七
4913二十三日十三十九
损二十七
缩七百六十一万五千四百四十
5015二十四日十四一
损三十九
缩六百九十万一千四百九十五
5100二十五日十四六
损五十二
缩五百八十七万二千七百三十五5185二十六日十四十
损六十二
缩四百四十九万九千一百五十九5253二十七日十四十二
损六十七
缩二百八十五万七千七百三十二5287二十八日十四十四
损七十四
缩百八万二千三百七十九
5321
推入迟疾历术：以通法乘朔积日为通实，通周去之，余满通法为日，不尽为日余。命日算外，天正十一月朔夜半入历日也。
求次月，大月加二日，小月加一日，日余皆万一千七百四十六。历满二十七日，日余万四千六百三十一，则去之。
求次日，加一日。求日所在定度：以夜半入历日余乘损益率，以损益盈缩积分，如差率而一，所得满纪法为度，不尽为度余，以盈加缩减平行度及余为定度。益之或满法，损之或不足，以纪法进退。求度行分如上法。求次日，如所入迟疾加之，虚去分如上法。
阴阳历
损益率
兼数
一日
益十六
初
二日
益十五
十六
三日
益十四
三十一
四日
益十二
四十五
五日
益九
五十七
六日
益五
六十六
七日
益一
七十一
八日
损二
七十二
九日
损六
七十
十日
损十
六十四
十一日
损十三
五十四
十二日
损十五
四十一
十三日
损十六
二十六
十四日
损十六
十
推入阴阳历术：置通实以会周去之，不满交数三十五万八千八百八十八半为朔入阳历分，满去之，为朔入阴历分。各满通法得一日，不尽为日余，命日算外，天正十一月朔夜半入历日也。
求次月，大月加二日，小月加一日，日余皆二万七百七十九。历满十三日，日余万五千九百八十七半则去之。阳竟入阴，阴竟入阳。求次日，加一日。求朔望差，以二千二十九乘朔小余，满三百三为日余，不尽倍之为小分，则朔差数也。加一十四日，日余二万一百八十六，小分百二十五，小分满六百六从日余，日余满通法为日，即望差数也。又加之，后月朔也。
求合朔月食：置朔望夜半入阴阳历日及余，有半者去之，置小分三百三，以差数加之，小分满六百六从日余，日余满通法从日，日满一历去之。命日算外，则朔望加时入历也。朔望加时入历一日，日余四千一百九十八，小分四百二十八以下，十二日，日余万一千七百八十八，小分四百八十一以上，朔则交会，望则月食。
求合朔月食定大小余：令差数日余加夜半入迟疾历余，日余满通法从日，则朔望加时入历也。以入历余乘损益率，以损益盈缩积分，如差法而一，以盈减缩加本朔望小余，为定小余。益之或满法，损之或不足，以日法进退日。
求合朔月食加时：以十二乘定小余，满日法得一辰，命以子，算外，加时所在辰也。有余者四之，满日法得一为少，二为半，三为太。又有余者三之，满日法得一为强，以强并少为少强，并半为半强，并太为太强。得二者为少弱，以并太为一辰弱，以前辰名之。
求月去日道度：置