理过程，所以我们只能运用已知的二氧化碳跟植物关系的知识，和利用存在的植物化石来研究。
可能欧几里得在具体的思维过程中，运用过这样的方法，只是我们无法看到；所以康托创造“对角线法”可以说是方法上的真正创造，“对角线法”体现了一种由内而外的技巧（具体参考下文康托部分）。
132切分与延伸思维——对单一事物的处理方法在《几何原本》的第一卷中，我们可以看到很多简单而好像没有意义的作图证明。其实这一切都是必要的铺垫。就霍布士的感悟，可以看到它们都是为“勾股定理”这样的大命题，甚至是一切几何证明作铺垫。比如，命题9（“二等分一个已知直线角”）、命题10（“二等分已知有限直线”）和命题11（“由已知直线上一已知点作一直线和已知直线成直角”）、命题12（“由已知无限直线外一已知点作该直线的垂线”），其实说到底只是指出“二等分角和线”“作垂线”是必然可行的。而命题31（“过一已知点作一直线平行于已知直线”）和命题1（“在一个已知有限直线上作一个等边三角形”）、命题46（“在已知线段上作一个正方形”）也只是指出作平行线、外接等腰三角形、外接正方形的必然可行性。这两类其实是对某一几何对象的处理方法：一是切分、一是延展。欧几里得其实就是运用了这两种简单而根本的方法来解决问题的。
具体而言，我们来看看命题10的证明。（如图13）
二等分已知有限直线设ab是已知道有限直线，那么，要求二等分有限直线ab设在ab上作一个等边三角形abc［11］且设直线cd二等分角acb［19］则可证线段ab被点d二等分事实上，由于ac等于cb，且cd公用；两边ac、cd分别等于两边bc、cd；且角acd等于角bcd所以，底ad等于底bd［14］从而，将已知有限直线ab二等分于点d作完这里运用了卷一中的命题1、9、4，来证明可以二等分已知有限直线。具体来说，运用命题1只是为了作外接等边三角形，运用命题9只是为了作角平分线。通过对直线ab的延展，再切分，终于解决了问题。如果不这样处理，单一的一条线，几乎没有思考和处理的可能。这点联系我们平常处理问题，如果是对某一个独立问题的思考，要么对该问题进行分解分析，要么联系其他相关问题来解决问题，否则无从下手。
这也就是说明，其实，欧几里得在具体处理问题时，运用了两种非常简单的技术性思维：延展与切分。而延展和切分的具体措施，除了上面提到的那些还有很多。但不管有多少，其基本的思路很简单，就是延展与切分。延展与切分，与中国哲学“一阴一阳之谓道”一样，虽然简单，但是却是根本，运用起来效用无穷。
又比如《几何原本》第一卷命题5：等腰三角形两底角相等。因为单独一个等腰三角形是无法进行任何分析讨论的，所以必须作延长线，建立新的三角形，并使它们产生关系，这样才能够进行分析讨论。此外的思路，必然地，就是作顶角的平分线或者作顶点到底边的垂线，而目的到头来也是建立新的三角形，并使它们产生关系，这样都可以解决问题，可以说是殊途同归。
133归谬法和穷竭法——无穷与有限的转换欧几里得的《几何原本》还记录、使用了归谬法、穷竭法。
在《几何原本》第一卷命题6的证明中，欧几里得就运用了归谬法。归谬法是在保留命题的假设下，否定结论，从结论的反面出发，由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而证实原来命题的结论是正确的，也称作反证法。
很多时候我们走一个方向，却怎么也无法到达；但这时候我们如果换个方向，也许有意外的收获。归谬法就是这么一个巧妙的方法。它告诉我们要懂得改变思维的方向。以最著名的素数（即质数）定理为例，《几何原本o第九卷》列出的命题20：“预先给定任意多个素数，则有比它们更多的素数”。这里，欧几里得故意回避“无穷”的概念，原命题其实也就是指出“素数有无穷多个”。对于“无穷”我们没有办法直接处理；所以，我们反过来设定：假设质数只有有限多个。
由此可设最大质数为p。
定义q=2'3'5'7'…'p+1明显，将q除以任何质数都余1，所以q亦应是质数。
因此，q是一个比p还要大的质数。
这是不可能的。
所以质数有无穷多个。（证完）
可见，归谬法，不仅是逆方向的思考，而且还为我们提供了一套解决“无限”的方法。人类的感知和测量是有限的，所以面对无限的问题，必须先把它转换为有限的问题。而归谬法一开始就是“化无限为有限”的利器。
我们这里的证明是现代简化的方法，欧几里得用的方法是“量尽”的方法，表述比较麻烦。不过，欧几里得的方法，其实也把几何图形和数（而且是不确定的数）联系起来。这也是解决问题时，常用的一种变换。后来出现的函数，也是实现几何与代数间的变换的方法。而“量尽”，其实又与“穷竭法”的手段有关。
穷竭法（thodofexhation），“穷竭”一词起源于古希腊数学家安蒂丰（antiphon，―480？～―411？）的表述，他曾提出“从圆内接正多边形开始，将其边数加倍，可得到一个新的圆内接正多边形，再将其边数加倍，这样不断地作下去，‘最后’的多边形必将与圆重合”[13]。安蒂丰提出这思路，并以此来解决化圆为方的问题。这和老子提出的“大方无隅”（最方正的形体没有棱角）意思相同。庄子也在《天下篇》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”三国的刘徽也是借此思路，提出的计算圆周率的科学方法——割圆术。
在《几何原本》中，欧几里得证明了“给出两个不相等的量，若从较大的量中减去一个大于它的一半的量，再从所得的余量中减去大于这个余量一半的量，并且连续这样下去，则必得一个余量小于较小的量。”[14]具体在证明这一命题中，为了解决不确定数量（这样才更又代表性）的问题，欧几里得还是运用了“归谬法”。而且证明了这一命题，欧几里得也得到了“穷竭法”的理论基础。之后，欧几里得还运用穷竭法证明了第十二卷的第2、5、10、18个命题。
归谬法和穷竭法的关键说到底目标就是“化无限为有限”“化不确定为确定”。这一思路，既推动了代数学的发展，也促进了“微积分”的形成。
总之，不论是沿正常顺序思考，还是逆向推理；是切分还是延伸，是几何与代数间的转换；是无限与有限的转换，还是确定与不确定的转换。各种各样的论证方法，都有一个根本的思维，就是利用这样的思维模式而创造出来的具体方法。正如《道德经》所言：“有无相生，难易相成，长短相形，高下相盈，音声相和，前后相随。恒也。”整个《几何原本》的体系，其实可以用老子的思想来理解：太极就是最初的“道”，就是先天的公理和“无需定义”的定义；阴阳的对应和变化，就是方法的运用和命题的证明。
注释：[1]引自《西方文化中的数学》[美]莫里斯o克莱因（orriskle）著张祖贵译复旦大学出版社2005[2]引自《几何原本o后记》。《几何原本》[古希腊]欧几里得著兰纪正朱恩宽译陕西科学技术出版社2003[3]转引自克莱因《西方文化中的数学》。相关内容还可以参考本书“九、逻辑学14论证的方法与反思”部分。
[4]这一部分中，涉及《几何原本》原著的内容，如无另外标明，均引自兰纪正、朱恩宽翻译，陕西科学技术出版社2003年出版的版本。
[5]张顺燕是北大数学教授，语见《相识数学》。《相识数学》中央电视台《百家讲坛》栏目组编中国人民大学出版社2004[6]转引自蔡聪明《从毕氏学派到欧氏几何的诞生》，《科学月刊》第二十六卷第二期～第七期[7]《爱因斯坦文集》（第1卷）许良英范岱年编译商务印书馆1976[8]具体内容可参考本书“二、物理21相对论”部分。
[9]《东方数学的使命》吴文俊2003年11月28日在“中国科学家人文论坛”上的演讲。
[10]转引自《大爆炸——宇宙通史》[英]帕特里克o摩尔[英]布赖恩o梅[英]克里斯o林陶特著李元译广西科学技术出版社2009。一般科普著作中，这样理解：宇宙的最初是一个密度无穷大的点，即质量集中在大小为零的一个点上。当然，这很明显不是彭罗斯的原意。
[11]引自《同舟共进》20104总262期《蔡元培：是真虎乃有风》王开林[12]《科学新闻》201014总424期《气候控制：真要二氧化碳负责吗？》吕静编译[13]转引自《几何原本o再版后记》[14]《几何原本》第十卷命题1。原句表述不够简洁，可以理解为a大于b，如果从a中减去超过一半，不断这样处理，最终可以得到一个a，这个a反而比b小。
作品相关介绍 一 2微积分——朝实用性迈进
由古希腊以来的数学是静态的数学。自从有了微积分，数学开始描述变化、描述运动。微积分开辟了动态数学的时代。微积分意义非凡，不仅统一了代数与几何，物理和数学，规则与不规则，还真正让抽象的数学和现实世界完全联系起来。今天，微积分不但成了自然科学和工程技术的基础，尤其是在物理学领域中，成了物理学的基本语言；而且还渗透到社会科学领域中，尤其是在经济学领域有着其广泛的应用。
从思维的角度探讨，作为一种数学方法，它的发明更是体现了抽象思维与形象思维的统一。作为微积分发明人之一的牛顿，能够创造这样神奇的东西，这完全和他发现万有引力一样，都是不朽的功勋。
21微积分的历史微积分的发明人之一莱布尼茨在1714年发表一篇文章《微分学的历史与根源》开头写的：“对于值得称颂的发明，了解其发明的真正根源与想法是很有用的，尤其是面对那些并非偶然的，而是经过深思熟虑而得的发明。展示发明的根源不光只是作为历史来了解或是鼓舞其它人，更重要的是透过漂亮的发明实例，可以增进吾人发明的艺术，并且发明的方法也可公诸于世。[1]”
其实，关于微积分的发明者一直有很多的争论。按克莱因的说法，牛顿和莱布尼茨谁是发明人的争论，甚至使得英国的数学家与欧洲大陆的数学家们停止了思想和通信联系，长达百余年之久。《世界数学史》载：众所周知，微积分是牛顿（isaaewton，1643～1727）和莱布尼茨（g．w．leibniz，1646～1716）创立的．但如果把人类文明史上这一伟大成果仅仅归功于他们二人，就有失公允了．正如牛顿所说：“我所以有这样的成就，是因为我站在巨人们的肩上．”仅就发明微积分而言，属于他所谓“巨人”之列的，至少可以举出斯蒂文（s．stev，1548～1620）、开普勒（j．kep－ler，1571～1630）、伽利略（g．galilei，1564～1642）、卡瓦列里（b．cavalieri，1598～1647）、费马（p．deferat，1601～1665）、帕斯卡（b．pascal，1623～1662）、沃利斯（j．wallis，1616～1703）、巴罗（i．barrow，1630～1677）等光辉的名字。审读其中的具体描述，可以看到牛顿和莱布尼茨的主要贡献不在于基本的思路，而在于“牛顿首次引入‘流数’和‘变化率’的概念，明确提出一般性的微积分算法，特别是提出微积分基本定理，所以说他‘发明’了微积分。”而“莱布尼茨在发现微积分基本定理的基础上，建立起一套相当系统的微分和积分方法．他成为与牛顿同时代的另一个微积分发明者。当然，他们的成果都是独立取得的，当他们开始联系时，已经各自建立起一套具有特色的微积分理论了。”[2]不仅如此，克莱因还强调：“牛顿、莱布尼茨的微积分，与现代被认为是使人满意的微积分，这两者之间的空白和鸿沟，也是由数百名伟大的数学家和名不见经传的数学家的工作才填补起来的。经过了150年，才产生出一门逻辑上完备的微积分。[3]”
由上述的资料，我们可以知道：科学的历史发展，有其必然性，看来好像是某个杰出人物的伟大发明，其实都是积聚了长时间的科学力量的爆发，尤其是牛顿和莱布尼茨这样成双的发明人的出现[4]，告诉我们一个问题，发明不是偶然，而是必然。
22对微积分的发明思路[5]就如写作要点面结合，才能够更全面展示真相。了解基本的历史之后，我们还需要了解最根本的思路、具体的一些进程。
221微分的前奏作为微积分的前奏，有几项工作：首先是伽利略的发现。伽利略设计并出售机械计算装置给威尼斯军队领袖。因此伽利略花时间研究弹道学，他发现：发射出来的炮弹是受到重力和大炮内部引爆的冲力这两种力的影响。如果只有冲力而没有重力，炮弹会以等速（直线）前进；可是，从自由落体实验中，他知道炮弹会因重力的关系，而加速落到地面。他指出两种力共同作用在炮弹上的结果，会使炮弹以抛物线的弹道发射出去。这些发现在当时来说都是相当了不起了，但是我们也知道这与我们的“理想”还很遥远，比如我们如何通过机械的发射器，可准确地调整射程、目标；甚至和我们今天一样能够拦截对方的导弹。这还需要更多的数据，比如炮弹在空中飞行的过程中，经过的任何一个点的瞬时速度。如果要归纳伽利略为微积分做的准备工作，那就是“炮弹的轨迹是一条抛物线”。他把具体的运动过程，抽象成了几何线条。这就让其可以进入下一个阶段的“数学分析”。
其次，就是笛卡尔（renedescartes，法，1596～1650）发明的“坐标系”。对此有不少传说，有的说是因为他看见爬在带有方格花纹的天花板上的虫子而想到，也有的说是看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，然后又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。但不管如何都透露了，笛卡尔和伽利略一样，都是从具体的世界中，抽象出“理念”来。他们的工作就是数学的工作，也是诗人的工作。因为有了笛卡尔的坐标系。现在我们就可以把伽利略发现的抛物线放在其中，进而，我们可以把抛物线更加数学化，我们可以把几何变成代数，把抛物线变成一条数学公式来描述（如图14）。具体过程是这样的：选择发射地点为原点，设为水平方向到发射地点的距离，为高度，水平距离和高度的单位都是米。观测发射后飞行的炮弹，知道它相继通过（，）=（0，0），（20，19），（40，36），（60，51）……各点。抛物线一般的数学表达式是“”。将坐标值代入即可得到具体的表达式。当然这是个具体的例子，关键我们要知道的是通过这样一种方法，可以把炮弹的轨迹用一个数学公式表达出来，一旦表达出来了，我们就可以很快地计算出具体的“位置”（地面距离，和空中高度就可以进行互逆运算）。这也是函数的魅力所在，它可以把一个趋势变成一个公式来描述。笛卡儿创造这套思想方法，也使之成为解释几何主要创立者。
再次就是如何理解炮弹时刻都在变化的方向。我们能够轻松地分析匀速直线运动，可是现实世界里充斥的却是存在“加速度”的变速运动（包括变向运动），我们没有办法对它们进行描述。就如克莱因所说，“在别的情况下，使用平均速度这一概念也就够了，但当物体以变速运动时，首先就产生了需要处理瞬时速度的问题。当时，变速运动正是17世纪科学家所面临的主要问题。例如，开普勒第二定律所描述的一颗行星的运动……是以一个连