数”增长总会有暂停、减缓的一天，甚至也会有终结的一天。但对于经验科学来说，它就是真的。而对于数学而言，这样的“定律”无法接受，真理必须是永远的，即使人类永远无法追上它，但是还是需要一直坚持，不放弃！
欧几里得几何，被认为是“真理”的典范，因为它是公理化的标杆，从几个公理，就能够推出那么多的命题。可是数学家还是要怀疑，到底它是不是完全的。“完全”，或者“完备”，是数学家追求的一种数学的完美。也就是说“该有的都有，不该有的都没有”，具体地说，就是“该有的公理都有，不该有的公理都没有；该推理出来的（正确，能证明的）命题都可以由该公理系统产生，不该推理出来的（错误，不能证明的）命题都不能够由该公理系统产生”。简言之就是完整而且没矛盾。公理，不能多也不能少。比如第五公设，怀疑了那么久，最终无法推翻，可以说，到目前为止，欧几里得几何依然是完全的。
现在从对第五公设的质疑中，衍生了出“椭圆几何”来，该如何证明这个新系统的正确性？首先的一个可能就是大家都承认他本身无须证明，就是公理化，大家一起接受，而且长期受到检验就好了，也就是说至今为止，是完全的，那就是完全的。很明显，这样只是回到原点；所谓的构造主义就是这样的思想，构造主义者觉得只有一步步来，建立起来，跟欧几里得几何一样就行。就好比：一个入室抢劫的嫌犯a在犯罪现场附近被逮捕，法庭对其进行审理。如果他有前科，而且看着他长大的人们提供了很多负面的品德证明，大家都一致认定a就是罪犯，而疑犯也不作辩驳，那么就可以裁定他的罪了。
问题是，现在的法律不会这么草率，而很多数学家还是不满意。事实还有待证明，有人想了个办法，用欧几里得几何来证明椭圆几何的完备。这样做不难，可这到头来还是要依赖欧几里得的完备。就好比：警察刚抓来的另一个案件的疑犯b，b居然声称案发时间他正和a一起在钓鱼；而a也说出同样的话。让他们相互为对方作无罪证明，这不是很荒谬吗？
那就用别的办法吧，希尔伯特就是这么做的，他用笛卡儿坐标的方法，把几何系统转为代数系统，可是这样一来，又有问题了。等于说，现在抓住疑犯后，警察又找到了身家清白的c，c声称看到a在钓鱼。但是我们依然无法排除c作伪证的可能。谁又能证明c的话是真的呢？c无法证明自己的话，除非c是全社会都信赖的诚实者，是个“公理”。而如果要再靠另一个人d来证明c的诚实，那么问题就会掉进一个无底洞。当然，我们法庭上一般还是会接纳c的证词，因为c也要为自己的证词负上法律责任。只是数学家依然不满意。
接下来，希尔伯特抛弃了对于完全性进行相对证明的方法，他提出了一种新方法：构建“绝对”证明，即不用假定其他系统的完全性就可以证明一个系统的完全性。他想到的方法第一步就是将演绎系统完全形式化，把系统内的所有表达的意义都抽掉，把它们变成空洞的符号，这样就构建了一个本身没有任意意义的符号系统。这整套方法最终发展成为形式逻辑、数理逻辑。用这套最纯粹的方法，来衡量数学或者其他体系就可以保持纯粹。也就是说找一个最客观的证人，比如说警察找到了个监控摄像头，它完整地记录了犯罪现场案发的整个过程。因为它是个机器，没有任何主观倾向，可信度是高多了。可是我们还是可以怀疑：是否录像经过剪接处理，或者录像时间被改动。所以，到头来，这录像还是要经过专业的鉴定，法庭的认可才行。
最后的，应该是哥德尔的出场了，他是数学界的李昌钰，他用了一套具体的方法，这套方法被大家公认是可信的。比如康托的对角线法，还创造了一套大家都接受的方法——哥德尔数，也称编码法。他用的不是一套体系，而是用一些合理的推理方法。也就是相当于断案的时候，警察以一套大家都认可的方法，比如取脚印、指纹、dna、衣物纤维等东西来判断疑犯是否有罪。最终哥德尔证明了警察找到的监控录像是真的，他指出“一阶逻辑”是完全的，希尔伯特“绝对证明”基本是有效的；可正在整个法庭都高兴万分时，哥德尔又提出了惊人的意见：罪犯另有其人。经过dna鉴定，疑犯a的孪生兄弟a才是真正的罪犯。录像记录的是真相，但是我们又被真相所迷惑，抓错了人。而a又有意包庇a，所以大家都被蒙蔽了。案件终于得到圆满的解决，可是公正廉明的法官却忧心忡忡。因为哥德尔的证明，让他知道光依靠人证物证都不足够，这个体系到头来怎么说都是不完全的。总会有些案件无法得到确切地审理，总会有些人，你明知他无罪或有罪，却无法证明；因为依赖整个法律体系，自身无法证明自身的完美。
我们也许觉得这样较真毫无意义，但正因为较真，数学家才发现、创造了很多的方法。而正是这些方法切实改变了世界。正是这些努力，让我们可以打破人类的知觉的局限，挑战“无限”，解决了欧几里得和牛顿等人对于“无限”的烦恼；也正是这些努力，促进了计算机的诞生，发展了数学的技术完善了数学的应用性。一切正如老子所说，“无为而无所不为”。
32康托尔集合论——挑战“无限”
321集合论的具体背景——对无穷的理解读小学时，我们可能做过这样的应用题：100个人10天完成一项工作，那么1000个人得花多少天完成这项工作呢？很简单：“100x10÷1000＝1”，答案是1天，只需要一天。得到这个纯粹的答案时，我们一般没有任何疑惑。只是这个问题如果继续下去呢？10000个人01天可以完成吗？100000个人001天可以完成么？很明显，这样计算下去，结果肯定很荒谬。这是因为数学的计算是抽象、纯粹的，而它对应的具体世界却是复杂而变化的。尤其是遇到量变会引发质变的问题，就无法保持有效性了；更不要说遇到“无穷”的问题了。
希尔伯特说：“没有任何问题可以像无穷那样深深的触动人的情感，很少有别的观念能像无穷那样激励理智产生富有成果的思想，然而也没有任何其他的概念能像无穷那样需要加以阐明。[3]”庄子说“吾生也有涯，而知也无涯。以有涯随无涯，殆已”，也点出人类有限的感知能力，面对“无穷”的困难。数学处理“无穷”时，首先考虑就是寻找“无穷”中的“有限”，也就是寻找规律。比如在经典的数学故事中，少年高斯计算“1+2+3+…+100=5050”所使用的方法。现代数学对于复杂庞大的计算问题，还会动用电子计算机；而要借助计算机，也需要把无穷的可能变成有限的情形（比如计算机完成的四色定理证明），不然计算机也无能为力。比如著名的哥德巴赫猜想：任意大的偶数都可以表示为两个质数之和。欧几里得已经证明质数有无穷多个，因此我们无法判断这个命题是对还是不对。虽然随便给一个偶数，都能够印证命题的正确；但是偶数有无穷多个，你穷毕生精力也不会验证完。换言之，我们暂时找不到规律作为突破口。而这个问题，说到底就是触及了“无穷”。而且更准确的说是“找不到规律”的“无穷”。
一旦问题触及远远超乎我们人类所能的“无穷”，人类辛苦建立的数学大厦就有了巨大的危机。
其实，早在数学第一次危机，人类就跟“找不到规律”的“无穷”较上劲了。古希腊的毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界。他们非常重视有理数，因为只要是有限的小数，都可以化成两个整数的比（比如0125，可以化成1/8），也就是说可以用简洁、抽象而且“有限”的表达来对应这个现实的世界。然而学派中的一个人——希帕索斯（hippas）在勾股定理的运用中发现了，以及后来发现的无理数，都是无限不循环的小数。等于说希帕索斯发现了超越学派力量的东西，这引起了他们极大的愤怒，传说他们把希帕索斯丢进了大海。无理数的发现，引发了第一次数学危机，这次危机促成了“公理化”思想，但并没有得到解决。它虽然使得数学家重新反思数学自身——“直觉经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的”；并且使得希腊人开始由“自明的”公理出发，经过演绎推理，建立几何学体系。但“公理化”其实也只是采取一种务实的态度，暂时搁置了这一问题。等于说，只要是在公理体系下，它存在了，就必须承认其存在。但其实，公理化对于“无穷”还是只能采取回避的态度，就连欧几里得，也只能把“质数有无穷多个”的命题，表述为“预先给定任意多个素数，则有比它们更多的素数”。
第二次数学危机，其实说到底也是无穷小的问题。对于无穷小的问题，其实早在希腊时期，芝诺就提出了著名的“运动是不可能的”悖论：明明运动是现实，只是一个人从甲地走到乙地，要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2……如此循环下去，永远不能到终点。芝诺并不是什么唯心主义者，他要表达的其实是对于“无穷小”与“非常小”的不同。亚里士多德对于离散与连续（正如上述问题）的矛盾有一定阐述。对于潜在的无穷（大）和实在的无穷（大）加以区别。他认为正整数是潜在无穷的，因为任何整数加上1以后总能得到一个新的数。但是他认为所谓“无穷集合”是不存在的。他认为空间是潜在无穷的，时间在延长上是潜在无穷的，在细分上也是潜在无穷的[4]。
我们能够接触到的只是非常大（或小），而接触不到“无穷大（或小）”。高斯说：“我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的。所谓无穷，只是一种说话的方式……”也就是说，他们都这样理解：无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在，简称为潜无限。之前有很多数学家把“无穷”看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释。1692或1693年的1月17日，牛顿在写给理查德o本特利的信中，也提到：“一般人只是把无限理解为一种不确定性，并在这个意义上说一切无限都是相等的……数学家所应用的考虑无限的方法，那就是，在某种一定的限制和限度内，规定无限在相互之间有一定的差别或比例。[5]”
而十九世纪，由于运算的完整性和应用范围的广泛性，使微积分成为解决问题的重要工具，同时关于微积分基础的问题也越来越严重，以求速度为例，瞬时速度是Δs/Δt，当Δt变成零时的值。Δt是零还是很小的量，还是什么东西？这个无穷小量究竟是不是零。引起了极大的争论，造成了第二次数学危机。
同时（十九世纪七十年代初），威尔斯特拉斯给出一个处处不可微的连续函数的例子（也就是说，发现了不可以进行微分处理的函数）。这个发现以及后来许多病态函数的例子，充分说明了直观及几何的思考不可靠，而必须诉诸严格的概念及推理。由此，第二此数学危机使数学更深入地探讨数学分析的基础——实数论的问题。
柯西[6]（cauchy，augt－louis，1789～1857）在1821年的《代数分析教程》中从定义变量开始，认识到函数不一定要有解析表达式。他规定了极限：“当一个变量相继取的值无限接近于一个固定值，最终与此固定值之差要多小就有多小时，该值就称为所有其他值的极限。”以此为基础，他指出f（x）的微分是“当变量α无限趋于零而量h保持不变时方程的左端所收敛的极限”。他把无穷，约束在“极限”这个概念中来进行处理，以此来消除“无限”带来的问题。在柯西那里，微积分构成了由定义、定理及其证明和有关的各种应用组成的逻辑上紧密联系的体系。也就是说，因为“无穷”存在，所以设法把它纳入了公理化体系，给了它的“名分”。就这样，在柯西和其后一些数学家的努力下，克服了微积分带来的第二次数学危机。
322雾中之雾——康托尔的集合论之前，潜无穷思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，可是康托尔并未就此止步，他以前所未有的方式，正面探讨无穷。“正面”意味着康托尔要把无穷掌握在手中，进行审视。对于“无穷”我们知道它远远超乎我们人类的理解，而康托尔却不愿意放过它，一定要把它纳入到数学体系中来。当然，也因此，康托尔带来了现代数学。
1873年11月，康托尔（cantor，德，1845～1918）在和戴德金（juliwilhelricharddedekd，德）的通信中提到：有理数的集合是可以“数”的，也就是可以和自然数的集合成一对一的对应……1873年12月7日又写信给戴德金，说他已能成功地证明实数的“集体”是不可数的了。[4]可以这样理解，这时候，他已经把无穷纳入集合，而且还可以进行分析，关键就是可以进行分析，他采用的方法就是“一一对应”，这个方法简单，但是非常巧妙，因为它居然能够让无穷可以进行分析。1874年，康托尔在《数学杂志》上发表了关于集合论的第一篇文章《论所有实代数数的集合的一个性质》，把集合作为数学对象，并提出：“所谓集合是把我们的直观或思维中确定、相互间有明确区别的那些对象（它们叫做集合的元素）作为一个整体来考虑的结果。”1878年他在第二篇进化论论文中把隐含在1847年文章中的“一一对应”概念提出来作为判断两个集合相同或不同的基础。[4]集合论的核心难点是无穷集合这个概念本身。从希腊时代以来，无穷集合早就引起过数学家和哲学家的注意。早在中世纪，人们已经注意：如果从两个同心圆出发画射线，那么射线就在这两个圆的点与点之间建立了一一对应，然而两圆的周长是不一样的。16世纪，伽利略发现：两个不同长的线段之间可以建立一一对应，从而想象出它们具有同样的点；正整数可以和它们的平方构成一一对应。但这导致无穷大的不同的“数量级”，伽利略以为这是不可能的因为所有无穷大都一样大。所以伽利略，和许多数学家大多不赞成在无穷集之间使用“一一对应”的比较手段，因为它将出现“部分等于全体”，与《几何原本》中的第五公理“整体大于部分”矛盾，很明显这对公理体系造成威胁。
当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西，这样他就肯定了作为完成整体的无穷，这种观念在数学上称为实无限思想。潜无穷在一定条件下是便于使用的，但若把它作为无穷观则是片面的。数学的发展表明，只承认潜无穷，否认实无穷是不行的。康托尔认为，一个无穷集合能够和它的部分构成一一对应不是什么坏事，它恰恰反应了无穷集合的一个本质特征。对康托尔来说，如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。[4]把本来无法接受的东西，理解为其特征，这就是康托尔的真正过人之处。
有了这样的理解，他先着手对付数学体系中最根本的“数”。他有几个发现：自然数集n与正偶数集具有了相同的个数（他将其称为可数集，概念上也称“可列”）；有理数集q与自然数集等势（即一一对应），有理数集也是可数集；代数数（即整系数代数方程的根）集合也是可数集。按照这一思维惯性，我们会想：说到底，有理数、无理数、实数应该也是等势的，也是可数集吧，而出乎意料的是，他证明了实数集r的势大于自然数集，无理数多于有理数，而且看起来庞大的代数数远远少于超越数[7]。而当时，人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已。这是何等令人震惊的结果！
不仅如此，康托尔还成功证明了无穷集之间还存在着无穷多个层次，康托尔根据无穷性有无穷种的学说，对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，他称为“超