谬的事。我们可以看到，引进了新的数，就会带来新的问题。当然我们可以通过规定来制止这样的问题，比如除数不能为“0”。这样虽然是迫不得已，但是我们还是可以不断发展数学。
问题是，随着不断的发展，数学体系日益庞大，就像一幢楼房，不断地增加楼层，不断地装修翻新，就会有聪明人提出问题，这样下去楼房会不会倒塌？我们必须好好地检查一下地基，及时充实一下地基。不仅如此，数学体系也日益抽象化，不在像欧几里得在《几何原本》中提到的那些“公理”，容易接受。这样很容易使我们疑惑，数学渐走渐远，它还是真的吗？
34哥德尔（kurtfriedrichg”odel1906～1978）的三大定理341希尔伯特的伟大构想随着数学体系的日益庞大、日益抽象化。自然就有人会问：作为一个理论体系基础的一组公理前提是否内部协调一致，是否能确保不会从前提推导出相互矛盾的定理。这时，一位数学领袖希尔伯特站了出来。
希尔伯特在1930年发表的《数学的基础》中提出[10]：我力求用这种建立数学基础的新方法达到一个有意义的目标，这种方法可以恰当地被称为证明论。我想把数学基础中所有的问题按照其现在提出的形式一劳永逸地解决，换言之，即把每一个数学命题都变成一个可以具体表达和严格推导的公式。经过这样治理的数学所推导出来的结果就会无懈可击，同时又能为整个科学描绘一幅合适的景象。
希尔伯特的思路是相当了不起的，建立一套秩序，一套“元数学体系”，把数学命题，全部变成这套“元数学法则”表达和推导的公式。这样数学命题就变成完全统一的体系，可以被“证明”合理或不合理。
一般的数学命题是这样的，“如果存在a，那么a=a”，其中包括语言的表述成分，还有包括抽象的数学符号部分。抽象符号部分，往往是数学家所理解，而为外行人所迷惑的；但其实它非常重要，它简洁有助于提高思维的效率。jk杰罗姆（jero）曾这样描述[11]：如果他在外面碰上一个人，并且打破了他的脑袋——我指的是另外一个人的脑袋——于是那就证明了他——前面那个小伙子——的姑娘是个漂亮的姑娘。如果是另外一个小伙子打破了他的脑袋——你知道不是他自己的，而是另外那个人的——对第二个小伙子来说的另一个，而不是对前面的那个小伙子——那么，如果他打破了他的头，那么他的姑娘——不是另外一个小伙子，而是那个小伙子，他……瞧：如果a打破了b的头，那么a的姑娘是一个漂亮的姑娘。但如果b打破了a的头，那么a的姑娘就不是一个漂亮的姑娘，而b的姑娘是一个漂亮的姑娘。很明显后面的表述简洁而且清楚。更关键的，这样的符号表述更具有代表性，“如果存在a，那么a=a”，a可以是任何事物，比如“如果存在‘一条河流’，那么这‘一条河流’就是‘一条河流’”，甚至包括否定式“如果存在‘非物质’，那么‘非物质’就是‘非物质’”，不仅如此，我们还可以是含有多个内容的判断“如果存在‘他要么在家，要么在单位’，那么……”整个过程中，我们只用了一个法则，就是“可替换”法则，a可以替换为任何事物。
所以，我们要做的第一步就是建立一套“符号”和“法则”，以此来建立一套“数学元体系”，并“确保”（证明）它可靠而且完全。第二步再将所有的数学内容都对应到这个体系中来，可以轻易地进行检验。换言之，希尔伯特想要重新建立一个无限的地基，不仅可以让原来的数学大厦搬到上面来，还可以无限地继续扩建其他的数学建筑。
出乎意料的，第一步工作，并不困难。
刘晓力这样描述这项工作：语言是思维的基础，但是自然语言又总是包含着各种隐喻成分和模糊之处，在使用中常常需要依赖于使用语言的具体语言环境，为了排除这些思考过程中“不纯粹”的障碍，逻辑学家一直都在努力创造一套更单一明确的符号，构造一套形式语言来服务科学的思考。1879年弗雷格（gfre）提出第一个初等逻辑的形式系统，1910年罗素在《数学原理》中创造出一阶谓词逻辑的形式系统p，1928年希尔伯特和阿克曼（wackeran）又引进了形式系统ha。它们的共同点都是引进了一套人工语言代替自然语言。到了20世纪20年代，这三个系统已被逻辑学家们普遍接受。但是这样的形式系统是否能囊括所有的逻辑真理？于是，希尔伯特1928年明确提出问题：证明一阶谓词逻辑系统具有完全性。
很快的，1929年哥德尔就在其博士论文中成功地证明，以上三种形式逻辑都具有一种语义完全性。即所有普遍有效式（在一切论域中都真的公式）都可在一阶谓词逻辑系统中作为定理得到证明；也就是说，一阶谓词逻辑系统在刻画那些逻辑真理方面是足够充分的。根据系统规则（语法真理）得出的真理能产生出所有在系统中可表示而且逻辑为真的命题。[12]更出乎意料的，第二步工作，失败了。这两项工作，主要的证明工作基本上都是哥德尔完成的。下面我们来看看哥德尔是怎么做的。
342哥德尔证明的过程3421一阶谓词逻辑的完全性所谓一阶谓词逻辑，也称一阶逻辑[13]。整个系统，主要包括四个部分：初始符号（形式演算所用的符号）、形成规则（也就是系统的语法，它表明哪些符号组合可以视为“公式”）、初始公式（即作为系统基础的公理，也是某些选择出来的公式）、变换规则（描述公式需要什么结构才能变换为其他一些包含给定结构的公式）。
借助朱水林《哥德尔不完全性定理》[14]描述的哥德尔证明流程来看，每一个演算系统，还包括一个可靠性问题。可靠性指的是系统中的定理都是普遍有效的，而完备性是指普遍有效的公式皆是系统中的定理。对于可靠性的证明（不是哥德尔完成的）需要先证明系统的初始公式（公理）皆是普遍有效公式；然后再证明系统的变形规则（或称变换规则）具有保普遍有效性，即如果变形前的公式普遍有效，则变形后的公式也普遍有效。这其实就像产生车间引进一套新设备（系统），现在要对整套设备进行检验一样。首先，要检查的是整个设备的所有组成部件是否没问题（即检查符号）；接着，要检查所有零部件组合的方式（检查形成规则）是否有问题；再接着，要检查整个系统的运作形式（检查初始公式），最后还要进行生产试验，检查产生出来的产品（检查变换规则）。如果生产出来的产品没有一个不合格，那么自然能够证明整套设备没有问题，可是这样的证明涉及到的又是“无限”，总不能永远地试验下去。所以有个必然要用到的方法，就是看这套设备是否能够产生出一个按照生产要求，而又不符合产品标准的成品来。
哥德尔的工作，就是证明，按照转换规则（已经被证明可靠），不可能同时产生公式a和“非a”。按照朱水林的描述，哥德尔是循序渐进地证明其完全性：首先，先定义几个要用的概念。就像我们辩论之前，先确定一下大家都认可的概念，不要浪费时间在争论些没有意义的东西。这些定义其实就是说清楚哥德尔对一阶演算体系某些概念的理解。这一步看似没有什么，而且好像有主观问题；但其实这些内容，是在填充条件，如果能够证明，那么这些定义就成为先行法则。
然后证明四条引理（数学中为了取得某个更好的结论而作为步骤被证明的命题），然后再证明完备性定理本身。而不管是证明引理，还是最后的证明，哥德尔用的主要都是反证法。
哥德尔具体的证明，即便再简化也是一个复杂难懂的过程。毕竟这是一个“高级技工检验专业机器的过程”，不是旁观者轻易可以看出门道的。不过根据朱水林的表述，我们可以清楚，哥德尔证明“一阶逻辑”的完备性，主要不是靠什么“巧妙的策略”，而是循规蹈矩地一步步检验，而且主要方法——反证法，是既踏实又不可避免的方法。
3422不完全性定理接下来，哥德尔继续证明数学体系的完全性。伟大的人物总是能够找到关键，选对了切入口，并且创造性地运用了某个有效的方法。哥德尔的高明之处，在于他巧妙地创造了“配数法”，有人说他是“煞费苦心地将元数学转换为数学”。配数法不仅将数学与逻辑联系起来，而且还把看起来不可能的证明，变成了最简单的“数论”（整数计算）。
前面，一阶逻辑把“语言”，变成“符号”，而哥德尔把“符号”全部变成“数”，而且是“整数”。这样所有的公式变成了“整数”，所有的命题也变成“整数”，直接就把一阶逻辑和“数学”联系起来。
具体情况是他给所有的固定符号都指定了一个哥德尔数（唯一对应的正整数），建立一套“配数表”。比如给“0”指代的数字是6，给“=”指代的数字是5，那么公式“0=0”，就可以表达为656。656这个数字是表示了符号对应（可逆向推出原有的公式）和演算顺序，这样一来可以把元数学的符号和公式都转换成为正整数。可是工作到这里还没有结束。因为他给左右括号分别指定为8和9，“+”指定的数字是11，给“x”指定的数字是12，数字变量指定的数字是13，是17……所以有了数字可能不一一对应的问题，比如公式，按前面的步骤转换为正整数排列起来（用空格分隔）是这样的：8413981357179。这样的数字在分隔上就有了问题，对应也就有了难度。如果不用空格，那么135，究竟是1、3、5，还是13、5或者1、35？很难分辨。所以哥德尔又用了一招“质数分解定理”[15]。根据该定理，每个正整数都可以被分解为唯一的质数乘积。也就是说，他按照质数从小到大排列，并将上面的数字，变成了这些质数的指数。即对应的哥德尔数不是8413981357179，而是28x34x513x79x118x1313x175x197x2317x299，这个数字可够大的，要这样计算是很麻烦的。其实哥德尔他目的只有一个，证明他用这套方法，能够将所有的元数学，变成这样一个个的正整数。也就是说，他能够将一种形式演算系统，比如罗素的p，描述为通常的算术概念并建立起熟悉的算术关系。总之，形式系统p中的任何一种表达形式——不管是基本符号，符号串，或者这种串的序列——都能被赋予唯一的哥德尔数。
紧接着，他证明了有关形式演算中的表达式的结构性质的元数学命题，能够被精确地映射到这个演算本身。用这种方法，元数学就变得完全“算术化”了。就好比我们在银行排队要拿个号码，这个号码只是个数字，但是我们可以明确谁先谁后，前后多少。而且他证明了这个方法的有效性。
现在，“配数法”这套好像只起到转换作用的东西，超乎意料地展现了哥德尔的“阴谋”。他表明能够构造一个算术论断g，用元数学语言来说就是，具有哥德尔数的陈述不可证明。但是g作为一串符号，具有哥德尔数，于是g对自己说：“我是不可证明的。”但如果纯粹的算术论断g是可证明的，它就断言了自己不可证明；反之，如果g是不可证明的，那么正如它所断言的，g就不可证明的。然而，既然算术断言要么可证明，要么不可证明，那么算术论断所从属的形式系统如果无矛盾，必定不完备。[10]具体地说，第一步：他表明，如何构造p的一个公式g，使其表达一下元数学命题：“使用p的规则，公式g不可证”。从字面上，这个公式讲的是它自身不可证明。第二步：证明g是可证明的，当且仅当它的否定形式～g是可证明的。第三步：他表明，尽管g是形式不可证明的，它却是真的算术公式。第四步，进而表明，由于g是真的，又是形式上不可判定的（在p中），因此p肯定是不完全的。第五步：哥德尔描述了怎样构造一个p的公式a，它所表达的元数学命题是：“p是一致的”；并且证明公式‘ag’在p中是形式可证明的。最后，他表明公式a在p中是不可证明的，并从而得出推论，p的一致性是无法用任何系列的逻辑推理来证明的。这样两个不完全性定理就得到了证明。[16]哥德尔的证明思路，其实最适合用上帝悖论来理解。有人这样证明“上帝并非万能”，方法就是问一个问题：上帝能否制造出一块他举不起来的石头？如果我们理解上帝万能，就是一个系统的万能。那么这个万能的系统，应该可以推断出一切的道理来，问题是这个系统既然是万能的，又怎么去对付这种本身存在矛盾，无法证明对错的内容呢？
到了这里，我们会发现，其实哥德尔的思路，和康托尔的对角线法非常相似。对角线针法对的是无穷无理数，而配数法针对是无穷的演算系统。康托尔是造了一个特殊的数，哥德尔是造了一个特殊的命题。
而且，我们还可以了解到，哥德尔这样的天才，其实靠的依然是他对于前人努力的认真学习，灵活运用。
内格尔和纽曼这样描述哥德尔形成思路的过程[16]：有一次哥德尔在琢磨《数学原理》中极为严格和一丝不苟的符号作时，突然感到事实上这种模式和数字模式是如此相像，因而可以将每个符号都换成数字，并将《数学原理》中的符号作全部变成数学运算。这种新的看问题的方式，产生了令人震惊的相互缠绕的结果：因为《数学原理》的主要论述对象是数，而哥德尔又将此书的符号媒介也变成了数字，这表明《数学原理》自身就是它的主要论述对象之一；换句话说，罗素和怀特海系统中的模式化的公式组合可以被看成是相互指涉的，很可能就是在论述其自身。这其实就说明了：他的编码方式，受启发于《数学原理》，而且证明的根本也来自“自指悖论”。
真理，是绝对的，是完美的，是无限的。而我们的认知能力又是有限的，这是不可克服的问题。但是数学家们并没有放弃，解决无限问题，之前有穷竭法、反证法，现在又有了新招数——“自指悖论”，或者说“对角线法”。一是从外部的相反方向来证明，一是在内部设计一个相反方向来证明。而证明逻辑体系、数学体系的完全性，面对的依然是无穷的问题。怎么样化无穷为有限，这是一个根本。所以，哥德尔的基本方法依然是反证法和自指悖论。哥德尔的主要发明是“编码法”，这一思想，其实来自“符号化”，不过他的方法更加巧妙，而且容易处理。
3423哥德尔证明的影响对于哥德尔的工作成果，我们该如何理解？
首先，哥德尔证明的方法和结论都已经被数学界接纳。但要明确，这样的结果不等于“哥德尔的不完全性定理”说明了“数学的不完全”，更不能把他等同于“一切”都不完全。前面我们侧重理解哥德尔的证明思路，现在我们借助胡作玄的描述[4]，具体地理解其结论：1930年秋在哥尼斯堡会议上他宣布了第一不完全性定理：一个包括初等数论的形式系统，如果是协调的，那就是不完全的。不久之后他又宣布：如果初等算术系统是协调的，则协调性在算术系统内不可证明。第一不完全性定理的意思是：如果包括初等数论的系统p是相容的（无矛盾）的，则存在着一个算术命题a和它的否定——“非a”在该系统内不能被证明。第二定理是第一个定理的推论，也就是说一个公理系统的相容性必须在更大的公理系统内才能证明。王剑、武海蓬指出我们要避免三种误解[17]：一、“所有的公理系统都是不完备的”，欧氏几何可以被公理化为一个完整的形式系统；二、“所有包含自然数的公理系统都是不完备的”，第一不完全定理仅假设公理系统能“定义”自然数，很多包含自然数的系统，例如“实数”和“复数”都有完备的公理化系统；三、“我们永远无法证明一个公理系统无矛盾”，这同样是错误的。该定理只表明我们不能从系统的内部证明相容性，但可